Would you like to make this site your homepage? It's fast and easy...
Yes, Please make this my home page!
III. Simplifikasi Fungsi Boolean
III.1 Simplifikasi Fungsi
Simplifikasi dilakukan untuk menghemat suatu bentuk logika boolean misalnya
Terdapat tabel kebenaran seperti ini :
| X |
Y |
Output |
| 1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
| 0 |
0 |
1 |
Tabel 3.1
Fungsi Boolean yang merepresentasikan tabel kebenaran 3.1 adalah :
f(X,Y) = X.Y + X'Y + X'Y'
Pada kenyataannya sebuah fungsi boolean dapat diekspressikan dengan fungsi boolean lain.
Misalnya :
f(X,Y) = X.Y + X'Y + X'Y' ekivalen dengan f(X,Y) = X' + Y
Bukti :
|
X.Y + X'Y + X'Y' + X'Y
|
Hukum Idempoten
|
|
Y(X+X') + X'(Y+Y')
|
Hukum Distribusi
|
|
Y.1 + X'.1
|
Hukum Komplemen
|
|
Y + X'
|
Hukum Identitas
|
|
X' + Y
|
Hukum Komutatif
|
Fungsi X'+Y tentunya lebih sederhana dibanding X.Y + X'Y + X'Y'.
Simplifikasi dapat dilakukan dengan 2 cara
- Dengan menggunakan hukum-hukum aljabar boolean (Seperti di atas)
- Dengan menggunakan metode khusus seperti peta Karnough
[Kembali ke Atas]
III.2 Aturan Boole untuk Simplifikasi Fungsi
Beberapa aturan/hukum tambahan yang sering dipakai dalam simplifikasi fungsi boolean
- X.Y + X.Y' = X
(X+Y) . (X+Y') = X
[Bukti menggunakan distribusi : XY + XY' = X(Y+Y') = X.1 = X]
- XY' + Y = X+Y
(X+Y').Y = X.Y
[Bukti menggunakan distribusi : XY' + Y = (X+Y)(Y'+Y)= (X+Y).1 = X+Y]
- X + XY = X
X .(X+Y) = X
[Bukti : X.1 + XY = X(1+Y) = X]
[Kembali ke Atas]
III.3 Fungsi Boolean dalam bentuk Sum Of Product atau Product Of Sum
Untuk melakukan simplifikasi kita lihat bagaiman kaitan antara distribusi dengan bentuk ekspressi fungsi boolean.
Terlebih dahulu definisi sum of product dan product of sum
Sebuah ekspressi sum of product adalah sebuah fungsi dengan bentuk
f(X,Y,..) = A+B+C+...
dengan A merupakan ekspressi yang dibentuk oleh hanya operator . (AND) dan literal
(Variabel atau komplemen variabel).
Contoh :
f(X,Y,Z) = X'YZ + XY + Y'Z'
Sebuah ekspressi product of sum adalah sebuah fungsi dengan bentuk
f(X,Y,..) = A.B.C....
dengan A merupakan ekspressi yang dibentuk oleh hanya operator + (OR) dan literal
(Variabel atau komplemen variabel).
Contoh :
f(X,Y,Z) = (X'+Y+Z) . (X+Y) . (Y'+Z')
Penerapan sifat distribusi aljebra boolean akan menghasilkan fungsi dalam bentuk sum of product atau product of
sum
Contoh :
f(A,B,C,D,E) = (AB' + C).(D'+E)
= AB'D' + AB'E + CD' + CE
f(A,B,C,D,E) = (AB' + C).(D'+E)
(A+C).(B'+C).(D'+E)
Kita akan melihat dengan bentuk sum of product simplifikasi fungsi boolean menjadi lebih mudah.
[Kembali ke Atas]
III.4 Karnough Map
Peta karnough merupakan representasi grafis minterm atau maxterm
sehingga penyederhanaan fungsi menjadi lebih mudah.
Minterm adalah bentuk sum melibatkan semua variabel.
Persamaan dengan minterm sama dengan sum of product.
Contoh :
f(A,B,C) = X'YZ + XY + Y'Z'
= X'YZ + XY(Z+Z') + (X+X')Y'Z'
= X'YZ + XYZ + XYZ' + XY'Z' + X'Y'Z' (sum of minterms)
Apabila diberikan tabel kebenaran mencari sum of minterms lebih mudah dengan cara
memperhatikan minterms dengan nilai output 1 lalu di-Or kan
Contoh :
| Inputs |
Outputs |
|
| A |
B |
C |
R |
Minterms |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
A.B.C |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
A.B.C' |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
A.B'.C |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
A.B'.C' |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
A'.B.C |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
A'.B.C' |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
A'.B'.C |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
A'.B'.C' |
Tabel 3.1 Minterms
Pada tabel 3.1 minterms yang memiliki nilai output satu adalah A.B.C,A.B'.C',A.B.C' dan A'.B'.C.
Oleh karena itu R diberikan oleh fungsi.
R = A.B.C + A.B'.C' + A.B.C' + A'.B'.C
Setelah kita mendapatkan representasi minterms. Peta karnogh dapat dibuat dengan memetakan minterms pada sebuah tabel.
Untuk 3 variabel kita dapat menggunakan tabel dengan ukuran 2 x 4.
| C\AB |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
A'B'C' |
A'BC' |
ABC' |
AB'C' |
| 1 |
A'B'C |
A'BC |
ABC |
AB'C |
Tabel 3.2 Peta Karnough
Untuk tiap minterms yang ada pada persamaan diberinilai 1, sisanya 0
| C\AB |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Tabel 3.3 Pengisian Peta Karnough
[Kembali ke Atas]
III.5 Interpretasi Peta Karnough
2 Hal yang mengkarakteristikkan peta karnough
- Jika anda membandingkan satu sel dengan sel lain pada arah vertikal atau horizontal hanya satu variabel yang
nilainya berubah
- Kondisi tepi : pada peta karnogh sel dianggap tetangga apabila terletak tepat satu sel di sebelah kiri
atau kanan pada satu baris, atau terletak tepat satu sel di atas atau di bawah pada satu kolom.
Namun apabila sel berada di tepi (paling kanan atau paling kiri, atau paling atas atau paling bawah) maka
sel tetangga bersifat sirkular (tetangga sel paling kanan adalah sel paling kiri dan sebaliknya, dan tetangga sel
paling atas adalah sel paling bawah dan sebaliknnya).
Setelah memahami konsep tetangga di peta karnough, maka hal selanjutnya yang dilakukan adalah melakukan minimalisasi,
yaitu dengan aturan :
| 1 |
Bentuk group sel sebesar mungkin sehingga banyak variabel yang terikutkan |
| 2 |
Group adalah sel yang bertetangga dengan jumlah sel 1,2,4,8, ... |
| 3 |
Bentuk group sesedikit mungkin |
| 4 |
Sel yang bernilai 1 setidaknya ikut dalam satu group |
Jadi pada contoh tabel 3.3, sel dikelompokkan menjadi 3 group.
| C\AB |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Tabel 3.4 Analisa Peta Karnough 1
Pada Tabel 3.4 terdapat 3 group. Group satu adalah sel dengan warna biru (001)
Group 2 adalah sel dengan warna kuning dan merah (110 dan 100)
Group 3 adalah sel dengan warna kuning dan hijau (110 dan 111)
Langkah terakhir adalah membuat ekspresi tereduksi dari group.
Group 1 (hanya satu sel sehingga) ekspressi adalah A'B'C
Group 2 ABC' + AB'C' = AC'
Group 3 ABC' + ABC = AB
Gabungkan hasil group 1 s/d 3 dengan OR,
sehingga ekspressi hasil simplifikasi adalah
R = A'B'C + AC' + AB
[Kembali ke Atas]
III.6 Peta Karnough untuk Banyak Variabel
Peta karnough memiliki kelemahan yaitu sulit untuk menggambar tabel untuk
fungsi dengan jumlah variabel lebih dari 5 (biasanya dengan variabel tambahan).
Untuk jumlah variabel 4, peta karnough masih dapat digambar pada kertas, contoh
Apabila terdapat fungsi boolean
Q = A.B'.C.D + A.B.C.D' + A.B.C'.D'+ A'.B.C'.D + A'.B'.C'.D + A.B'.C.D
Dapat dipetakan pada peta karnogh dengan skema seperti pada tabel 3.5
| AB\CD |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 00 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 01 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
| 10 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Tabel 3.5 Peta Karnough untuk 4 variabel
Reduksi persamaan dengan 4 variabel pada tabel 3.5 ditinggalkan sebagai PR.
[Kembali ke Atas]
